В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента и (функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению общее решение которого имеет вид y = C1ln(x) + C2Kn(x) (как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля) , а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением ber (x) + i bei (x) = I0(x ). Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента: , , , , из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn(x) и Yn(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно, и Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф. Цилиндрические магнитные домены, «магнитные пузырьки», изолированные однородно намагниченные подвижные области ферро- или ферримагнетика (домены), имеющие форму круговых цилиндров и направление намагниченности, противоположное направлению намагниченности остальной его части (рис. 1). Обнаружены в конце 50-х гг. 20 в. в ортоферритах и гексаферритах, предложение о практическом использовании Ц. м.д. в вычислительной технике относится к 1967. На практике Ц. м.д. получают в тонких (1—100 мкм) плоскопараллельных пластинах (плёнках) монокристаллических ферримагнетиков (ферриты-гранаты) или аморфных ферромагнетиков (сплавы d- и f-переходных элементов с единственной осью лёгкого намагничивания, направленной перпендикулярно поверхности пластины). Магнитное поле, формирующее Ц. м.д. (поле подмагничивания), прикладывается по оси лёгкого намагничивания. В отсутствии внешнего подмагничивающего поля доменная структура пластин имеет неупорядоченный лабиринтообразный вид (рис. 2, а). При наложении подмагничивающего поля домены, не имеющие контакта с краями пластины, стягиваются и образуют Ц. м.д. (рис. 2, б). Вектор намагниченности Ц. м.д. J ориентируется вдоль оси лёгкого намагничивания. Изолированные Ц. м.д. существуют в определённом интервале полей подмагничивания, который составляет несколько процентов от величины намагниченности насыщения материала. Нижняя граница интервала устойчивости соответствует переходу Ц. м.д. в домены иной формы, верхняя — исчезновению (коллапсу) Ц. м.д. Устойчивое существование Ц. м.д. обусловлено равновесием трёх сил: силы взаимодействия намагниченности Ц. м.д. с полем подмагничивания; силы, связанной с существованием у Ц. м.д. стенок (аналогична силе поверхностного натяжения); наконец, силы взаимодействия намагниченности Ц. м.д. с размагничивающим полем остальной части магнетика. Первые две силы стремятся сжать Ц. м.д., а третья — растянуть. В момент формирования радиус Ц. м.д. имеет максимальную величину; при дальнейшем увеличении подмагничивающего поля радиус Ц. м.д. уменьшается, а при некотором поле Нк сжимающие силы начинают превышать растягивающие и Ц. м.д. исчезают (коллапсируют) (рис. 3). Реальные размеры Ц. м.д. зависят, помимо поля подмагничивания, от физических параметров материала и толщины плёнки. В центре интервала устойчивости диаметр Ц. м.д. примерно равен толщине плёнки. В однородном поле подмагничивания Ц. м.д. неподвижны, в поле, обладающем пространственной неоднородностью, они перемещаются в область с меньшей напряжённостью поля. Существует предельная скорость перемещения Ц. м.д., для разных веществ составляющая от 10 до 1000 м/сек. Скорость Ц. м.д. ограничивают процессы передачи энергии от движущихся Ц. м.д. кристаллической решётке, спиновым волнам ит.п., а также взаимодействие Ц. м.д. с дефектами в кристаллах (с уменьшением числа дефектов скорость увеличивается). Ц. м.д. визуально наблюдаются под микроскопом в поляризованном свете (используется Фарадея эффект). Тонкие эпитаксиальные плёнки (см. Эпитаксия) смешанных редкоземельных ферритов-гранатов и аморфные плёнки сплавов d- и f-металлов начинают применяться в запоминающих устройствах цифровых вычислительных машин (для записи, хранения и считывания информации в двоичной системе счисления). Нули и единицы двоичного кода при этом изображаются соответственно присутствием и отсутствием Ц. м.д. в данном месте плёнки. Существуют магнитные плёнки, в которых диаметр Ц. м.д. менее 0,5 мкм, что позволяет, в принципе, осуществлять запись информации с плотностью более 107 бит/см2. Практически реализованная система записи и считывания информации основана на перемещении Ц. м.д. в магнитных плёнках при помощи тонких (0,3—1 мкм) аппликаций из магнитно-мягкого материала (пермаллоя) Т—I-, Y—I- или V-образной (шевронной) формы, накладываемых непосредственно на плёнку с Ц. м.д. Аппликации намагничивают вращающимся в плоскости плёнки управляющим магнитным полем Нупр (рис. 4) так, что в требуемом направлении возникает градиент поля, обеспечивающий перемещение Ц. м.д. Схемы управления перемещением Ц. м.д. при помощи пермаллоевых аппликаций работают на частотах изменения управляющего поля около 1 Мгц, что соответствует скорости записи (считывания) информации ~ 1 Мбит/сек. Запись информации осуществляется с помощью генераторов Ц. м.д., работающих на принципе локального перемагничивания материала импульсным магнитным полем тока, пропускаемого по проводнику в форме шпильки.